Determine o limite lim x→-∞ (4x - 3x^3) / raiz(x^6 + 9)

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar um número que representa o limite, desde ele exista, certo? Então temos que se ligar que assim como nos outros cálculos de limites, podemos usar aquelas regras do produto, da soma, do quociente e etc...

Agora, veja que estamos com uma divisão de polinômios e, quando x   → ∞ o livro nos diz que devemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x . No nosso caso, dividiremos todo mundo por x 3 .

Daí,

l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 6 + 9 =   l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 3 x 6 + 9 x 3

Passo 2

Nesse ponto, podemos observar que

| x 3 | =   x 6

Mas como nosso limite esta tendendo para valores negativos podemos ignorar o modulo e assumir que:

  x 6 = | x 3 | =   - x 3

Voltando para nossas contas, temos:

l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 3 x 6 + 9 x 3 = l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 6 x 6 + 9 x 6 =   l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 3 x 6 + 9 x 6 =   l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 - x 3 x 6 + 9 x 6 =  

= l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + 3 1 + 9 x 6

Passo 3

Usando as regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, temos

l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + 3 1 + 9 x 6   =   l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + 3 l i m x   →   - ∞ 1 + 9 x 6

Passo 4

Como no limite que devemos calcular tem uma raiz ai na frente, então você vai passar com o limite pra dentro da raiz. Isso mesmo! Olhando a raiz como uma função, temos que ela é contínua, então o limite pode dá aquela puladinha, beleza?

Ou seja, nossa contas ficam:

  l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + 3 l i m x   →   - ∞ 1 + 9 x 6 =     l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + 3 l i m x   →   - ∞ 1 + 9 x 6  

Passo 5

Pela regra da soma e da subtração: “ O limite da soma é a soma dos limites” e “o limite da subtração é a subtração dos limites”, nossa conta fica:

l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + 3 l i m x   →   - ∞ 1 + 9 x 6   =   l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + l i m x   →   - ∞ 3 l i m x   →   - ∞ 1 + l i m x   →   - ∞ 9 x 6

Passo 6

Para prosseguir, precisamos lembrar de mais algumas coisas:

1ª coisa: Como 1 não depende de x ele  é uma constante e aí pela regra da constante, 

      l i m x   →   ∞ = 1  

2ª coisa: 

                                                       ⁡ l i m x   →   ∞ 4 x 2 = 0

Vou tentar ilustrar rapidinho:

 Imagine que você tem R$100,00  para dividir para nós dxs, beleza ? Então, a quantidade que vamos receber seria  R$50,00 Mas e se agora você tiver que dividir para cem pessoas, o valor vai ser bem menor, não é ? Mas e se for para mil pessoas? Menor ainda, concorda comigo, migxs?  Então, o valor recebido por cada um de nós é cada vez menor à medida que aumentamos a quantidade de pessoas que temos que dividir o money, ou seja, estamos ficando com quase nada,  né?!! O valor a receber por nós tende a zero. 

Tá, se olharmos para esse  R$100,00 como nosso 4 e fazermos  x tender a infinito é como se estivessemos dividindo o 4 por valores cada vez maiores, consequentemente 

lim x →  ∞ ⁡ 4 x 2 = 0

Da mesma forma,

  ⁡ l i m x   →   ∞ 9 x 6 = 0

3ª Coisa:

  ⁡ l i m x   →   ∞   x = ∞

Passo 7

Então, substituindo naquela bagaça

    l i m x   →   - ∞ - 4 x 2 + l i m x   →   - ∞ 3 l i m x   →   - ∞ 1 + l i m x   →   - ∞ 9 x 6 =   0 + 3 1 + 0 = 3

Por fim, temos que nosso resultado é

l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 6 + 9       = 3

Resposta

l i m x   →   - ∞ 4 x - 3 x 3 x 6 + 9       = 3

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