Enunciado

Determine o limite underset(x -> - oo)(l i m) (4 x - 3 x^3)/(sqrt(x^6 + 9))

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar um número que representa o limite, desde ele exista, certo? Então temos que se ligar que assim como nos outros cálculos de limites, podemos usar aquelas regras do produto, da soma, do quociente e etc...

Agora, veja que estamos com uma divisão de polinômios e, quando x -> oo o livro nos diz que devemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x . No nosso caso, dividiremos todo mundo por x^3 .

Daí,

underset(x -> - oo)(l i m) (4 x - 3 x^3)/(sqrt(x^6 + 9)) = underset(x -> - oo)(l i m) ((4 x - 3 x^3)/(x^3))/((sqrt(x^6 + 9))/(x^3))

Passo 2

Nesse ponto, podemos observar que

| x^3 | = sqrt(x^6)

Mas como nosso limite esta tendendo para valores negativos podemos ignorar o modulo e assumir que:

sqrt(x^6) = | x^3 | = - x^3

Voltando para nossas contas, temos:

underset(x -> - oo)(l i m) ((4 x - 3 x^3)/(x^3))/((sqrt(x^6 + 9))/(x^3)) = underset(x -> - oo)(l i m) ((4 x - 3 x^3)/(sqrt(x^6)))/((sqrt(x^6 + 9))/(sqrt(x^6))) = underset(x -> - oo)(l i m) ((4 x - 3 x^3)/(|x^3|))/(sqrt((x^6 + 9)/(x^6))) = underset(x -> - oo)(l i m) ((4 x - 3 x^3)/(- x^3))/(sqrt((x^6 + 9)/(x^6))) =

= underset(x -> - oo)(l i m) (- (4)/(x^2) + 3)/(sqrt(1 + (9)/(x^6)))

Passo 3

Usando as regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, temos

underset(x -> - oo)(l i m) (- (4)/(x^2) + 3)/(sqrt(1 + (9)/(x^6))) = (underset(x -> - oo)(l i m) - (4)/(x^2) + 3)/(underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(1 + (9)/(x^6)))

Passo 4

Como no limite que devemos calcular tem uma raiz ai na frente, então você vai passar com o limite pra dentro da raiz. Isso mesmo! Olhando a raiz como uma função, temos que ela é contínua, então o limite pode dá aquela puladinha, beleza?

Ou seja, nossa contas ficam:

(underset(x -> - oo)(l i m) - (4)/(x^2) + 3)/(underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(1 + (9)/(x^6))) = (underset(x -> - oo)(l i m) - (4)/(x^2) + 3)/(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + (9)/(x^6)))

Passo 5

Pela regra da soma e da subtração: “ O limite da soma é a soma dos limites” e “o limite da subtração é a subtração dos limites”, nossa conta fica:

(underset(x -> - oo)(l i m) - (4)/(x^2) + 3)/(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + (9)/(x^6))) = (underset(x -> - oo)(l i m) - (4)/(x^2) + underset(x -> - oo)(l i m) 3)/(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) (9)/(x^6)))

Passo 6

Para prosseguir, precisamos lembrar de mais algumas coisas:

1ª coisa: Como 1 não depende de x ele  é uma constante e aí pela regra da constante, 

      underset(x -> oo)(l i m) = 1

2ª coisa: 

                                                     underset(x -> oo)(l i m) (4)/(x^2) = 0

Vou tentar ilustrar rapidinho:

 Imagine que você tem R$100,00  para dividir para nós dxs, beleza ? Então, a quantidade que vamos receber seria  R$50,00 Mas e se agora você tiver que dividir para cem pessoas, o valor vai ser bem menor, não é ? Mas e se for para mil pessoas? Menor ainda, concorda comigo, migxs?  Então, o valor recebido por cada um de nós é cada vez menor à medida que aumentamos a quantidade de pessoas que temos que dividir o money, ou seja, estamos ficando com quase nada,  né?!! O valor a receber por nós tende a zero. 

Tá, se olharmos para esse  R$100,00 como nosso 4 e fazermos  x tender a infinito é como se estivessemos dividindo o 4 por valores cada vez maiores, consequentemente 

underset(x -> oo)(lim) (4)/(x^2) = 0

Da mesma forma,

underset(x -> oo)(l i m) (9)/(x^6) = 0

3ª Coisa:

underset(x -> oo)(l i m) x = oo

Passo 7

Então, substituindo naquela bagaça

(underset(x -> - oo)(l i m) - (4)/(x^2) + underset(x -> - oo)(l i m) 3)/(sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 1 + underset(x -> - oo)(l i m) (9)/(x^6))) = (0 + 3)/(sqrt(1 + 0)) = 3

Por fim, temos que nosso resultado é

underset(x -> - oo)(l i m) (4 x - 3 x^3)/(sqrt(x^6 + 9)) = 3

Resposta

underset(x -> - oo)(l i m) (4 x - 3 x^3)/(sqrt(x^6 + 9)) = 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 x + 1 = ∞ Ilustre a definição 9, encontrando o valor de N correspondentes a M = 100
Para o limite lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 + 1 x + 1 = - 2 Ilustre a definição 8, encontrando os valores de N correspondentes a ϵ = 0,5eϵ = 0,1
Para o limite lim x → ∞ ⁡ 4 x 2 + 1 x + 1 = 2 Ilustre a definição 7, encontrando os valores de N correspondentes a ϵ = 0,5eϵ = 0,1
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ 3 x
Calcule. lim x → - ∞ ⁡ 1 x 3