Enunciado

Determine o limite underset(x -> oo)(l i m) ((s e n ( 2 x ))/(x))

Passo 1

Antes de calcularmos o limite, vamos analisar a função que está em jogo, certo ?

Temos a função f (x) = ((s e n ( ( 2 x ))/(x)) .

Se olharmos para o numerador da função, temos uma variação da função seno. Vamos analisar o gráfico dessa função, beleza?

Olhando bem rapidinho, dá pra ver que assim como o seno, ela varia entre - 1 e 1 . Isso significa dizer que

|s e n ( 2 x )| <= 1

Mais ainda, |s e n ( 2 x )| <= 1 significa dizer que

- 1 <= s e n (2 x) <= 1

Se você parar pra fuçar a memória, vai lembrar de uma parada em que calculamos o limite entre desigualdades... lembrou? O nome dessa bagaça é Teorema do confronto, ou teorema do sanduíche, que é onde uma função fica apertada por outras duas como a carne de hamburguer fica entre o pão e ai é só aplicar o limite em todas as desigualdades, né? .

Mas e aí? Cabou? Já podemos aplicar o limite ?

Não! A função que temos que calcular o limite é f (x) = ((s e n ( ( 2 x ))/(x)) , então falta uma parte, beleza ?

A gente pode fazer ela aparecer, é só multiplicar o que a gente precisa aqui ó:

- 1 <= s e n (2 x) <= 1

Passo 2

Você já sacou que tem que multiplicar (1)/(x) por todo mundo ali em cima e aplicar o limite, né?

Mas só posso fazer isso tranquilamente porque como x -> oo temos que x > 0 então (1)/(x) > 0 e quando multiplicar em - 1 <= s e n (2 x) <= 1

A desigualdade fica intacta, ou seja,

- (1)/(x) <= (s e n (2 x))/(x) <= (1)/(x)

Então, vamos lá, podemos passar o limite agora e nossa conta fica assim:

underset(x -> oo)(lim) - (1)/(x) <= underset(x -> oo)(l i m) (s e n (2 x))/(x) <= underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x)

Passo 3

Cabe a nós, meros mortais sabermos que que acontece com esses caras aqui:

underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) e underset(x -> oo)(l i m) - (1)/(x)

Tá ligado que esse limites são zero ne? Sabe, o motivo?

Vou tentar contextualizar rapidinho:

 Imagine que você tem R$10,00  para dividir para nós dxs, beleza ? Então, a quantidade que vamos receber seria  R$5,00 Mas e se agora você tiver que dividir para cem pessoas, o valor vai ser bem menor, não é ? Mas e se for para mil pessoas? Menor ainda, concorda comigo, migxs?  Então, o valor recebido por cada um de nós é cada vez menor à medida que aumentamos a quantidade de pessoas que temos que dividir o money, ou seja, estamos ficando com quase nada,  né?!! O valor a receber por nós tende a zero. 

Tá, se olharmos para esse  R$10,00 como nosso e fazermos  x tender a infinito é como se estivessemos dividindo o 5 por valores cada vez maiores, consequentemente 

underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) = 0

E como

underset(x -> oo)(l i m) - (1)/(x) = - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = 0

Então, finalmente podemos concluir alguma coisa sobre o limite nesse primeiro caso... Já que

underset(x -> oo)(lim -) (1)/(x) <= underset(x -> oo)(l i m) (s e n (2 x))/(x) <= underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x)

E

underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x) = underset(x -> oo)(l i m) - (1)/(x) = 0

Pelo teorema do Confronto/ Sanduiche,

underset(x -> oo)(l i m) (s e n (2 x))/(x) = 0

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) (s e n (2 x))/(x) = 0

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