Enunciado

Demonstre que, entre todos os retângulos com perímetro de 8 m, o de maior área é um quadrado.

Passo 1

O Perímetro e a área de um retângulo são dadas por:

P = 2 x + 2 y

A = x ⋅ y

Passo 2

Primeiro iremos transformar nossas equações de duas variáveis em uma equação de uma variável. Como temos que P= 8 m , podemos pegar a expressão:

8 = 2 x + 2 y

4 = x + y ⇒ y = 4 - x

Substituindo isso na equação da área temos que:

A = x 4 - x

Passo 3

Para achar o maior área possível, podemos derivar a expressão, e igualar a 0. Assim a derivada ficará:

d A d x = d x d x 4 - x + x d d x 4 - x = 0

4 - x - x = 0

- 2 x = - 4

x = 2

Passo 4

Substituindo no perímetro e na expressão da área, temos que:

y = 4 - x ⇒ 4 - 2 = 2

Logo

x = 2 , y = 2

A resposta pode ser vista no gráfico abaixo:

Reparem na concavidade para baixo, o que indica que:

d 2 A d 2 x < 0

Resposta

Temos aqui um quadrado de lado 2.

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