Calcule.

lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p     p ≠ 0

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos raízes cúbicas, podemos fazer a seguinte manipulação, pegando cada elemento do denominador e tirando a raíz cúbica e elevando ao cubo:

x - p = x 3 3 - p 3 3

Fizemos isso porque agora podemos usar a seguinte fórmula, pois temos essa expressão desse formato:

a 3 - b 3 = ( a 2 + a . b + b 2 ) ( a - b )

Assim temos a = x 3 e b = p 3 :

x - p = x 3 3 - p 3 3 = x 3 2 + x 3 ∙ p 3 + p 3 2 x 3 - p 3 = x 2 3 + x p 3 + p 2 3 x 3 - p 3

Vamos substituir no limite:

lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p = lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x 2 3 + x p 3 + p 2 3 x 3 - p 3 = lim x → p ⁡ 1 x 2 3 + x p 3 + p 2 3

Passo 3

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido:

lim x → p ⁡ 1 x 2 3 + x p 3 + p 2 3 =   1 p 2 3 + p ∙ p 3 + p 2 3 = 1 p 2 3 + p 2 3 + p 2 3 = 1 3 p 2 3

Resposta

lim x → p ⁡ x 3 - p 3 x - p = 1 3 p 2 3

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