Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6   ⁡  

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dado o limite

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6   ⁡  

Nosso objetivo é mostrar que esse limite tende a infinito.

Tem ideia de como fazemos isso?

Nesses casos, a primeira coisa que temos que fazer é analisar o comportamento da função quando x é igual ao valor que ele tende, no caso, 2 + .

Como nossa função é uma razão entre dois polinômios, analisando o polinômio do numerador vemos que em x = 2 ele não é zerado.

Já no denominador, se fizermos a mesma analise vamos perceber que ele será zerado.

Logo, uma maneira de calcular esse limite aplicar o método da substituição.

Esse método consiste em substituir x pelo valor que ele tende a assumir.

Veja só!

Passo 2

O limite é dado por

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6

Se fizermos x = 2 , chegamos em

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6 = 2 2 - 2 2 - 8 2 2 - 5 2 + 6 = - 8 0

Caímos em uma fração cujo denominador é 0 ... normalmente diríamos que essa fração não existe, mas aqui estamos trabalhando com limite, então na verdade o denominador não resulta em um zero absoluto, ele na verdade tende a um valor que é tão pequeno que é próximo de 0 .

O que acontece quando dividimos um numero relativamente grande por um numero quase 0 ?

Por exemplo

1 0,001 = 1000 ,     1 0,0001 = 10000 ,     1 0,000001 = 1000000

Percebeu que ele tende a um numero cada vez maior?

A mesma coisa acontece no nosso limite.

Portanto, como o numerador é negativo, podemos dizer que

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6 = - ∞

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 x - 8 x 2 - 5 x + 6 = - ∞

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