Enunciado

Determine o limite infinito:

lim x → 1 ⁡ 2 - x ( x - 1 ) ²

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Seguinte... queremos calcular o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 2 - x ( x - 1 ) ²

Pra achar esse limite, uma coisa que podemos fazer é usar as propriedades dos limites e escrever:

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = lim x → 1 ⁡ 2 - x lim x → 1 ⁡ x - 1 2

Agora vamos verificar cada um dos limites!! 😉

Passo 2

Agora, resolvendo o limite de cima, temos:

lim x → 1 ⁡ 2 - x = 2 - 1 = 1

Ou seja:

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = 1 lim x → 1 ⁡ x - 1 2

O próprio enunciado diz pra gente que esse limite dá infinito, mas qual deles? + ∞ ou - ∞ ? Bora descobrir!!

Passo 3

Bem, o resultado do limite vai depender só do denominador, ok? Ele era:

lim x → 1 ⁡ x - 1 2

Agora, nota bem a função dentro desse limite:

f x = x - 1 2

Não parece muito com uma função g tal que:

g x = x 2

Que é uma parábola com concavidade pra cima.

Isso porque é bem parecido mesmo, f nada mais é do que g deslocado uma unidade pra direita:

Hmm... então não importa pra qual lado eu tenda x de 1 , direita ou esquerda, das duas formas esse resultado vai dar:

lim x → 1 ± ⁡ x - 1 2 = 0 +

Passo 4

Juntando os dois resultados então:

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = 1 lim x → 1 ⁡ x - 1 2 = 1 0 + = + ∞

Um número positivo ( 1 ) dividido por um número infinitamente próximo de zero e também positivo vai dar um número infinitamente grande e bem, positivo hahaha. 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ 2 - x x - 1 2 = + ∞

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