Enunciado

O Exercício 58 mostra que as formas indeterminadas 0 0 e ∞ 0 podem tomar qualquer valor real positivo. Contudo, muitas vezes ocorre que essas indeterminações tomam o valor 1. Leia o artigo “Indeterminate Forms of Exponential Type”, de John Baxley e Elmer Hayashi, na edição de Junho-Julho de 1978 da revista American Mathematical Monthly, e escreva um relatório sucinto sobre os motivos dessa ocorrência.

Passo 1

A gente consegue achar esse artigo no google. Ele tem teoremas que descrevem essas duas situações. Vamos ver o que fiz cada um.

O primeiro teorema fala porque uma indeterminação 0 0 pode dar 1 . Isso acontece quando a gente tem g ( x ) e f ( x ) e:

lim x → x 0 ⁡ g x = 0 ,     lim x → x 0 ⁡ f x = 0

E na vizinhaça de x 0 , f x > 0 . Se a gente puder escrever que esse limite existe:

lim x → x 0 ⁡ g x μ f x λ ,   λ > 0 ,   μ > 0

Podemos dizer que a inteterminação 0 0 vai dar 1:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = 1

Isso acontece por exemplo, para

lim x → 0 + ⁡ x x

Passo 2

O segundo teorema descreve a situação onde a indeterminação ∞ 0 vai dar 1 . Isso acontece quando a gente tem g ( x ) e f ( x ) e:

lim x → x 0 ⁡ g x = 0 ,     lim x → x 0 ⁡ f x = + ∞

Se a gente puder escrever que esse limite existe:

lim x → x 0 ⁡ g x μ f x λ ,   λ > 0 ,   μ > 0

Podemos dizer que a inteterminação ∞ 0 vai dar 1:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = 1

Isso significa que as indeterminações com essas características resultam em 1 .

Resposta

Discussão nos passos

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