Enunciado

Expresse, em termos de integrais, as soluções dos problemas de valor inicial nos exercícios 69 e 70.

d y d x = 1 + x 2 ,     y 1 = - 2

Passo 1

Nesses exercícios, precisamos aplicar a integral dos dois lados da equação. Mas quais serão os limites de integração?

Boa pergunta jovem gafanhoto! Nós vamos colocar sempre x no limite superior e o valor de x dado na condição inicial. Isso pois temos o seguinte

∫ a x d y d x d x = y x - y ( a )

E ele nos deu o valor de y a na condição inicial!

Passo 2

No nosso caso temos que a nossa condição inicial é y 1 = - 2 . Logo, vamos ter que a = 1 . Então

∫ 1 x d y d x d x = ∫ 1 x 1 + t 2 d t

Usando a expressão do passo 1 (que vem do teorema fundamental do cálculo):

y x - y 1 = ∫ 1 x 1 + t 2 d t → y x - ( - 2 ) = ∫ 1 x 1 + t 2 d t

Logo,

y x = ∫ 1 x 1 + t 2 d t - 2

Resposta

y x = ∫ 1 x 1 + t 2 d t - 2

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Nos exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida, usando o segundo teorema fundamental do cálculo.
Parece que podemos integrar 2 sin ⁡ x cos ⁡ x em relação a x de três maneiras diferentes: ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 2 u d u = u 2 + C 1 = sin 2 ⁡ x + C 1 ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - 2 u d u = - u
A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro em uma reta é v = d s d t = 6 sin ⁡ 2 tm / s para qualquer t . Se s = 0 quando t = 0 , determine o valor de s quando t = π / 2s .
A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro em uma reta é a = d 2 s d t 2 = π 2 cos ⁡ π tm / s 2 para qualquer t . Se s = 0 e v = 8m / s quando t = 0 , determines quando t = 1s .
(Continuação do Exemplo 10.)Demonstre por meio do cálculo da integral na expressão 1 1 / 60 - 0 ∫ 0 1 / 60 V m a x sin ⁡ 120 π t d t que o valor médio de V = V m a x sin ⁡ 120 π t sobre um ciclo compl