Enunciado

(a) Use um CAS para mostrar que, se k   for uma constante positiva, então

lim x → + ∞ ⁡ x   k 1 x - 1 = ln ⁡ k

(b) Confirme esse resultado usando a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Expresse o limite em termos de t   =   1 / x .]

(c) Se n for um inteiro positivo, então segue por (a) com x   =   n que a aproximação

n k n - 1 ≈ ln ⁡ k

deveria ser boa com n grande. Use esse resultado e a tecla da raiz quadrada de uma calculadora para aproximar os valores de ln ⁡ 0,3 e ln ⁡ 2 com n   =   1024 e, então, compare os valores obtidos com aqueles do logaritmo gerados diretamente da calculadora. [Sugestão: Cada raiz enésima na qual n é uma potência de dois pode ser obtida como sucessivas raízes quadradas.]

Passo 1

(a) O que a gente precisa fazer é calcular esse limite usando o CAS. Vamos usar o Wolfram Mathematica para fazer essa continha. Fica assim:

Como o enunciado disse, realmente dá ln ⁡ k .

Passo 2

(b) Agora vamos tentar chegar nesse resultado usando a regra de L’Hospital e a sugestão do enunciado. Precisamos fazer a substituição:

t   = 1 x ∴ x = 1 t

x → + ∞ ∴ t → 0

O limite fica assim:

lim x → + ∞ ⁡ x   k 1 x - 1 = lim t → 0 ⁡   1 t k t - 1  

Vamos usar L’Hospital nele. Só derivar em cima e embaixo separadamente:

lim t → 0 ⁡ k t - 1 t = lim t → 0 ⁡ k t ln ⁡ k 1 = 1 ⋅ ln ⁡ k = ln ⁡ k

Chegamos no mesmo resultado que o CAS. Uhul!

Passo 3

(c) Precisamos usar a aproximação:

ln ⁡ k ≈ n k n - 1

Com n = 1024 , ou seja:

ln ⁡ k ≈ 1024   k 1024 - 1

Para calcular ln ⁡ 2 e ln ⁡ 0,3 . E depois comparar o que a gente achar com os valore reais.

Maaas, a gente só pode usar a raiz quadrada. Então em vez de calcularmos k 1024 direto, vamos calcular a raiz quadrada de k dez vezes consecutivas. Porque aí chegamos em

k 1 2 10 = k 1024

Belezinha? Vamos começar!

Passo 4

Precisamos achar ln ⁡ 2 . Então vamos usar a aproximação com k = 2 . Fica assim:

ln ⁡ 2 ≈ 1024   2 1024 - 1 = 0,693382

Calculando esse log direto, achamos 0,693147 . A aproximação que a gente usou deu um resultado bem legal.

Vamos fazer o mesmo com ln ⁡ 0,3 . Se k = 0,3 :

ln ⁡ 0,3 ≈ 1024   0,3 1024 - 1 = - 1,203265

Calculando esse log direto, achamos - 1,2039 72 . De novo, a aproximação foi boa. Chegou a acertar três casas decimais.

Que bonita a matemática, né? haha

Resposta

  1. Prova nos passos
  2. Prova nos passos
  3. ln ⁡ 2 ≈ 0,693382 , ln ⁡ 2 = 0,693147 , ln ⁡ 0,3 ≈ - 1,203265 ,     ln ⁡ 0,3 = - 1,203972
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