Determine o limite:

lim x → ∞ ⁡ x + 2 x - 1 x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma   1 ∞ .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f x = x + 2 x - 1 x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ ( f x ) = ln ⁡ x + 2 x - 1 x

Isso resulta em: ln ⁡ f ( x ) = x ln ⁡ x + 2 x - 1

Então...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ f ( x )   = l i m x → ∞     x ln ⁡ x + 2 x - 1

E vamos reescrever como um quociente:

l i m x → ∞   ln ⁡ x + 2 x - 1 1 x

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

l i m x → ∞   ln ⁡ x + 2 x - 1 1 x =   l i m x → ∞   1 x + 2 + 1 x - 1 - 1 x 2

l i m x → ∞ - 3 x + 2 x - 1 - 1 x 2 =   l i m x → ∞ 3 x 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )

Derivamos de novo...

l i m x → ∞ 3 x 2 ( x + 2 ) ( x - 1 ) = l i m x → ∞ 6 x 2 x + 1 = 3  

Bom, então l i m x → ∞ ln ⁡ f ( x ) = 3

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

l i m x → ∞ e ln ⁡ f x = e 3

l i m x → ∞ f x = e 3

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x + 2 x - 1 x = e 3

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