Enunciado

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 1 + x 1 / x - 1

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo 1 ∞ :

l i m x → 1 + x 1 / x - 1 = 1 1 / 1 - 1 = 1 1 / 0 = 1 1 / 0 = 1 ∞

Contudo, podemos reescrever o l i m de outra forma. Vamos fazer uma troca de variável onde:

y = x 1 / x - 1

Assim:

l i m x → 1 + x 1 / x - 1 = l i m x → 1 + y

Passo 2

Agora iremos trabalhar mais um pouco com nossa expressão em y . Temos que:

y = x 1 / x - 1

Passando l n em ambos os lados, teremos que:

l n y = l n   x 1 / x - 1 → l n y = 1 x - 1 l n   x

Passo 3

Aplicando o l i m x → 1 + l n y   teremos que:

l i m x → 1 + l n y = l i m x → 1 + 1 x - 1 l n   x    

Passo 4

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação do tipo 0 0 :

l i m x → 1 + 1 x - 1 l n   x = 1 1 - 1 l n   1 = 0 0

Passo 5

Aplicando a regra de L`Hopital, teremos que:

l i m x → 1 + l n   x x - 1 = l i m x → 1 + d d x l n   x d d x x - 1 = l i m x → 1 + 1 / x d d x x - d d x 1 = l i m x → 1 + 1 / x 1

Passo 6

Substituindo o valor no limite, teremos que:

l i m x → 1 + 1 / x 1 = l i m x → 1 + 1 / 1 1 = 1

Logo:

l i m x → 1 + l n y = 1

Passo 7

Usando as seguintes propriedades:

a b = e b l n a e l i m x → w e b l n a = e l i m x → w b l n a

Então podemos reescrever a expressão l i m x → 1 + y como:

l i m x → 1 + y = l i m x → 1 + e l n y = e l i m x → 1 + l n y

Passo 8

Sabemos pelo passo 6 que:

l i m x → 1 + l n y = 1

Assim:

e l i m x → 1 + l n y = e 1 = e

Resposta

l i m x → 1 + x 1 / x - 1 = e

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