Enunciado

Determine o limite:

underset(x -> 0^+)(lim) x^x

Passo 1

O limite resulta em uma indeterminação da forma 0^0 .

Para fugir da indeterminação, vamos fazer f (x) = x^x . Agora vamos fazer o logaritmo dos dois lados:

ln ( f (x) ) = ln x^x

Isso resulta em: ln f ( x ) = x ln x

Então...

underset(x -> 0^+)(lim) ln f ( x ) = underset(x -> 0)(l i m) x ln x

E vamos reescrever como: underset(x -> 0)(l i m) (ln x)/((1)/(x)) para ficarmos com um quociente e aplicarmos a regra de L’Hôpital...

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra de L´Hôpital e derivar a função de cima e a de baixo...

underset(x -> 0)(l i m) (ln x)/((1)/(x)) = underset(x -> 0)(l i m) ((1)/(x))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> 0)(l i m) - (x^2)/(x) = underset(x -> 0)(l i m) - x = 0

Bom, então underset(x -> 0)(l i m) ln f ( x ) = 0

Vamos usar a exponencial dos dois lados então...

underset(x -> 0)(l i m) e^(ln f (x)) = e^0

underset(x -> 0)(l i m) f (x) = 1

E encontramos o limite procurado😉

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) x^x = 1

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