Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim t → - 1 ⁡ t 2 + 3 t + 2 t 2 - t - 2

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é t = - 1 e a função f t = t 2 + 3 t + 2 t 2 - t - 2 . Então, temos que

f - 1 = ( - 1 ) 2 + 3 ( - 1 ) + 2 ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) - 2 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso nem o denominador nem o numerador estão fatorados. Então precisamos fatorar ambos! Vamos começar pelo numerador.

Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a t 2 + b t + c pode ser reescrito como:

a t 2 + b t + c = a t - t 1 t - t 2

Onde t 1 e t 2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 ,   b = 3 ,   c = 2 e

t 2 + 3 t + 2 = 1 ( t - t 1 ) ( t - t 2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

t 1 , t 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 3 ± ( 3 ) 2 - 4.1 . ( 2 ) 2.1 = - 1 ; - 2

Então vamos ter que o numerador vai ficar:

t 2 + 3 t + 2 = 1 t - t 1 t - t 2 = 1 . t - - 1 t - - 2 = ( t + 1 ) ( t + 2 )

Passo 5

Agora vamos fatorar o denominador ( t 2 - t - 2 ) . Novamente vamos usar procurar as raízes do polinômio com a fórmula de bháskara, mas com a = 1 ,   b = - 1 ,   c = - 2

t 1 , t 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 1 ± ( - 1 ) 2 - 4.1 . ( - 2 ) 2.1 = - 1 ; 2

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

t 2 - t - 2 = 1 t - t 1 t - t 2 = 1 . t - - 1 t - 2 = ( t + 1 ) ( t - 2 )

Passo 6

Vamos juntar tudo então

lim t → - 1 ⁡ t 2 + 3 t + 2 t 2 - t - 2 = lim t → - 1 ⁡ ( t + 1 ) ( t + 2 ) ( t + 1 ) ( t - 2 ) = lim t → - 1 ⁡ ( t + 2 ) ( t - 2 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim t → - 1 ⁡ ( t + 2 ) ( t - 2 ) = - 1 + 2 - 1 - 2 = - 1 3

Resposta

lim t → - 1 ⁡ t 2 + 3 t + 2 t 2 - t - 2 = - 1 3

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