Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → 1 ⁡ x - 1 x + 3 - 2

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 1 e a função f x = x - 1 x + 3 - 2 . Então, temos que

f ( 1 ) = ( 1 ) - 1 ( 1 ) + 3 - 2 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de x + 3 - 2 é:

x + 3 + 2

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

lim x → 1 ⁡ x - 1 x + 3 - 2 ⋅ x + 3 + 2 x + 3 + 2 = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x + 3 + 2 ) ( x + 3 - 2 ) ( x + 3 + 2 )

Agora vamos olhar para o denominador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = x + 3 e b = 2 . Então o numerador vai ficar

x + 3 - 2 x + 3 + 2 = x + 3 2 - 2 2 = x + 3 - 4 = x - 1

Passo 5

Vamos juntar tudo então

lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x + 3 + 2 ) ( x + 3 - 2 ) ( x + 3 + 2 ) = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x + 3 + 2 ) ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ ( x + 3 + 2 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → 1 ⁡ ( x + 3 + 2 ) = 1 + 3 + 2 = 4

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 x + 3 - 2 = 4

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