Enunciado

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 1)(lim) (x - 1)/(sqrt(x + 3) - 2)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 1 e a função f (x) = (x - 1)/(sqrt(x + 3) - 2) . Então, temos que

f ( 1 ) = (( 1 ) - 1)/(sqrt(( 1 ) + 3) - 2) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de sqrt(x + 3) - 2 é:

sqrt(x + 3) + 2

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

underset(x -> 1)(lim) ((x - 1)/(sqrt(x + 3) - 2)) * ((sqrt(x + 3) + 2)/(sqrt(x + 3) + 2)) = underset(x -> 1)(lim) (( x - 1 ) ( sqrt(x + 3) + 2 ))/(( sqrt(x + 3) - 2 ) ( sqrt(x + 3) + 2 ))

Agora vamos olhar para o denominador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = sqrt(x + 3) e b = 2 . Então o numerador vai ficar

(sqrt(x + 3) - 2) (sqrt(x + 3) + 2) = (sqrt(x + 3))^2 - (2)^2 = x + 3 - 4 = x - 1

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> 1)(lim) (( x - 1 ) ( sqrt(x + 3) + 2 ))/(( sqrt(x + 3) - 2 ) ( sqrt(x + 3) + 2 )) = underset(x -> 1)(lim) (( x - 1 ) ( sqrt(x + 3) + 2 ))/(( x - 1 )) = underset(x -> 1)(lim) ( sqrt(x + 3) + 2 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> 1)(lim) ( sqrt(x + 3) + 2 ) = sqrt((1) + 3) + 2 = 4

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (x - 1)/(sqrt(x + 3) - 2) = 4

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