Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → - 3 ⁡ x + 3 x 2 + 4 x + 3

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 3 e a função f x = x + 3 x 2 + 4 x + 3 . Então, temos que

f - 3 = ( - 3 ) + 3 ( - 3 ) 2 + 4 ( - 3 ) + 3 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso o numerador já está fatorado, então basta olhar o denominador. Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a x 2 + b x + c pode ser reescrito como:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 ,   b = 4 ,   c = 3 e

x 2 + 4 x + 3 = 1 ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

x 1 , x 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4.1 . 3 2.1 = - 3 , - 1

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

x 2 + 4 x + 3 = 1 x - x 1 x - x 2 = 1 . x - - 1 x - - 3 = ( x + 1 ) ( x + 3 )

Passo 5

Vamos juntar tudo então

lim x → - 3 ⁡ x + 3 x 2 + 4 x + 3 = lim x → - 3 ⁡ x + 3 ( x + 1 ) ( x + 3 ) = lim x → - 3 ⁡ 1 ( x + 1 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → - 3 ⁡ 1 ( x + 1 ) = 1 - 3 + 1 = - 1 2

Resposta

lim x → - 3 ⁡ x + 3 x 2 + 4 x + 3 = - 1 2

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