Enunciado

Forneça definições rigorosas de underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Passo 1

No caso geral, quando x -> a , tínhamos essa definição:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número delta > 0 tal que

|f (x) - L| < ϵ se 0 < |x - a| < delta

E isso é o mesmo que dizer que:

a - delta < x < a + delta

Passo 2

Agora vamos repensar isso para x -> a^+ . Nesse caso, os valores próximos de x só são maiores que a , ou seja, só vão até a + delta . Por isso, a gente escreve que:

a < x < a + delta

E a definição fica assim:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número delta > 0 tal que

|f (x) - L| < ϵ se a < x < a + delta

Passo 3

Para x -> a^- fica parecido. Nesse caso, os valores próximos de x só são menores que a , ou seja, só vão até a - delta . Por isso, a gente escreve que:

a - delta < x < a

E a definição fica assim:

underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número delta > 0 tal que

|f (x) - L| < ϵ se a - delta < x < a

Resposta

Definições nos passos

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65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.69. lim x → 2 + ⁡ f x = 2 ,o n d ef x = x , x2 3 x , x ≤ 2
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.68. lim x → 0 - ⁡ - x = 0
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.66. lim x → 1 - ⁡ 3 x + 2 = 5
58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .b) M = 1000
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.73. a) lim x → + ∞ ⁡ x + 1 = + ∞