Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 5.4 - Ex. 79

Ver Outros Exercícios
desse livro

Determine a linearização de

g x = 2 - ∫ 2 x + 1 9 1 + t   d t

Em x = 1 .

Passo 1

Muita calma nessa hora. Temos muitas informações para serem trabalhadas! Vamos relembrar primeiro como escrevemos a linearização de uma função. Sendo assim, a linearização é dada por:

L x = f a + f ' a ⋅ ( x - a )

Se queremos linearizar em torno do ponto x = 1 , temos que a = 1 , e assim precisamos calcular f ( 1 ) e f ' ( 1 ) . Mas aí entramos em outro problema! Como obtemos f ' ( x ) ? Como derivamos uma integral? É nesse momento que relembramos do teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função f , sabemos que, se F x = ∫ a x f t   d t , então:

F ' x = d d x ∫ a h ( x ) f t   d t = f h x ⋅ h ' ( x )

Passo 2

Vamos começar pelo mais fácil. Vamos calcular g ( 1 ) . Temos então:

g 1 = 2 - ∫ 2 2 9 1 + t   d t

Como os limites da integral são iguais entre si, o valor desta integral é igual a 0. Portanto,

g 1 = 2 - 0

g 1 = 2

Passo 3

Vamos agora obter a derivada da função g ( x ) .

g ' x = d d x 2 - ∫ 2 x + 1 9 1 + t   d t

g ' x = 0 - d d x ∫ 2 x + 1 9 1 + t   d t

g ' x = - d d x ∫ 2 x + 1 9 1 + t   d t

É neste exato momento que aplicamos o teorema fundamental do cálculo parte 1. Se h x = x + 1 , temos:

g ' x = - 9 1 + x + 1 ⋅ x + 1 '

g ' x = - 9 x + 2

Passo 4

Agora, podemos obter a função linearização! Temos então:

L x = g a + g ' a ⋅ ( x - a )

L x = g 1 + g ' 1 ⋅ ( x - 1 )

L x = 2 - 9 1 + 2 ⋅ ( x - 1 )

L x = 2 - 3 ⋅ ( x - 1 )

Portanto,

L x = - 3 x + 5

Resposta

L x = - 3 x + 5

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a área representada por g x . A seguir, encontre g ' x de duas

Ver Mais

Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inici

Ver Mais

Determine a área da região sombreada.

Ver Mais

A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2

Ver Mais