Suponha que ∫ - 3 0 g t d t = 2 . Calcule:

  1. ∫ 0 - 3 g t   d t
  2. ∫ - 3 0 g u   d u
  3. ∫ - 3 0 - g x   d x
  4. ∫ - 3 0 g ( r ) 2   d r

Passo 1

Para resolver esta questão, precisamos descobrir alguma associação entre a integral de cada uma das letras com os valores das integrais já dados. Para isto, será de extrema importância usarmos e abusarmos das propriedades de integrais definidas, presentes na Tabela 5.4!!! Discutiremos cada uma das propriedades de acordo com a conveniência de cada letra.

Passo 2

A integral que precisamos calcular é:

∫ - 3 0 g ( r ) 2   d r

A única diferença para a integral da questão é a variável de integração, que ao invés de ser t , é r . Esta mudança não afeta em nada o valor da integral. Se fizermos r = t d r = d t . Consequentemente, temos:

∫ - 3 0 g ( r ) 2   d r = ∫ - 3 0 g ( t ) 2   d t

Passo 3

Agora, se utilizarmos a propriedade da multiplicação por um escalar, obtemos:

∫ - 3 0 g ( t ) 2   d t = 1 2 ⋅ ∫ - 3 0 g ( t )   d t

∫ - 3 0 g ( t ) 2   d t = 1 2 ⋅ 2 = 1

Resposta

∫ - 3 0 g ( r ) 2   d r = 1

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