Enunciado

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ .

E é limitado pelo cilindro parabolóico z = 1 - y 2 e pelos planos x + z = 1 , x = 0 e z = 0 ;

ρ x , y , z = 4

Passo 1

Podemos colocar a variação de x como

0 ≤ x ≤ 1 - z

E no plano y z temos

As variações podem ser colocadas como

0 ≤ z ≤ 1 - y 2

- 1 ≤ y ≤ 1

Passo 2

A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

Então

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4   d x d z d y

= 4 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 1 - z   d z d y = 4 ∫ - 1 1 z - z 2 2 0 1 - y 2 d y

= 4 ∫ - 1 1 1 - y 2 - 1 - y 2 2 2   d y = 4 ∫ - 1 1 1 - y 2 - 1 - 2 y 2 + y 4 2   d y

= 4 ∫ - 1 1 1 2 - y 4 2   d y = 2 ∫ - 1 1 ( 1 - y 4 )   d y

= 2 y - y 5 5 - 1 1 = 4 1 - 1 5

= 4 4 5

m = 16 5

Passo 3

O centro de massa é dado por ( x - , y - , z - ) onde

x - = M y z m                     y - = M x z m                     z - = M x y m

Calculando os momentos, primeiro no plano y z

M y z = ∭ E x   ρ   d V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4 x   d x d z d y

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 2 ( 1 - z ) 2 d z d y = ∫ - 1 1 - 2 1 - z 3 3 0 1 - y 2   d y

= ∫ - 1 1 - 2 1 - 1 - y 2 3 3 + 2 3   d y = ∫ - 1 1 - 2 y 6 3 + 2 3   d y

= - 2 y 7 21 + 2 y 3 - 1 1 = 2 - 2 21 + 2 3

= 2 - 2 + 14 21 = 24 21

M y z = 8 7

No plano x z

M x z = ∭ E y   ρ   d V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4 y   d x d z d y

= ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 y 1 - z   d z d y = ∫ - 1 1 - 4 y 1 - z 2 2 0 1 - y 2 d y

= ∫ - 1 1 - 4 y 1 - 1 + y 2 2 2 + 4 y 2 d y = ∫ - 1 1 - 2 y 5 + 2 y d y

Uzando a propriedade de que uma integral de - a a a de uma função ímpar é 0

M x z = 0

E no plano x y

M x y = ∭ E z   ρ   d V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 1 - z 4 z   d x d z d y

= ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 z 1 - z   d z d y = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 4 z - 4 z 2   d z d y

= ∫ - 1 1 2 z 2 - 4 z 3 3 0 1 - y 2 d y = ∫ - 1 1 2 ( 1 - y 2 ) 2 - 4 ( 1 - y 2 ) 3 3 d y

= ∫ - 1 1 2 1 - 2 y 2 + y 4 - 4 3 1 - 3 y 2 + 3 y 4 - y 6   d y

= ∫ - 1 1 2 - 4 y 2 + 2 y 4 - 4 3 + 4 y 2 - 4 y 4 + 4 3 y 6   d y

= ∫ - 1 1 2 3 - 2 y 4 + 4 3 y 6   d y = 2 3 y - 2 y 5 5 + 4 y 7 21 - 1 1

= 2 2 3 - 2 5 + 4 21 = 2 70 - 42 + 20 105 = 2 48 105

M x y = 32 35

Passo 4

Calculando as coordenadas do centro de massa

x - = M y z m = 8 7 16 5 = 5 14

y - = M x z m = 0 16 5 = 0

z - = M x y m = 32 35 16 5 = 2 7

Então temos

x - , y - , z - = 5 14 , 0 , 2 7

Resposta

m = 16 5

x - , y - , z - = 5 14 , 0 , 2 7

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