Enunciado

Utilize as coordenadas esféricas.

Encontre o volume da parte da bola ρ ≤ a que está entre os cones ϕ = π / 6 e ϕ = π / 3 .

Passo 1

O volume do sólido será a integral tripla da função constante igual 1 , em outras palavras:

V = ∭ D d V

No caso, a região de integração, em coordenadas esféricas, é dada por:

D = ρ , θ , ϕ     0 ≤ ρ ≤ a ,     0 ≤ θ ≤ 2 π ,     π 6 ≤ ϕ < π 3   }

Assim, lembrando que em coordenadas esféricas d V = ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ :

V = ∫ 0 a d ρ   ∫ 0 2 π d θ   ∫ π / 6 π / 3 ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 2

Fazendo a integral em ϕ :

∫ π / 6 π / 3 s e n   ϕ   d ϕ = - cos ⁡ π 3 + cos ⁡ π 6 = - 1 2 + 3 2 = 3 - 1 2

Assim,

V = 3 - 1 2 ⋅ ∫ 0 a ρ 2   d ρ ⋅ ∫ 0 2 π d θ

Portanto,

V = 3 - 1 2 ⋅ a 3 3 ⋅ 2 π = π 3 - 1 a 3 3

Resposta

π 3 - 1 a 3 3

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