Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 15
Calcule a integral tripla.
, onde é o tetraedro sólido com vértices , , e
Passo 1
No espaço temos os quatro pontos
Precisamos achar o plano que passa pelos três pontos que não são a origem, para isso, podemos fazer o seguinte, a fórmula do plano é
Quando e
E também sabemos que
Quando e
E
Quando e
E
Então temos , que na fórmula do plano, podemos colocar quanquer valor, então para
Isolando , temos
E podemos colocar a variação de como .
Passo 2
Agora no plano temos que a área é limitada por , e a reta que passa por e , essa reta tem inclinação
E a equação é
Podemos escrever como
E escrevemos como sendo
Passo 3
Resolvendo a integral, temos
Agora calculando a integral dupla
Resposta
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Calculer) ∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ≤ x + y ≤ 8 , 1 x ≤ y ≤ 2 x , y ≥ x e 0 ≤ z ≤ x ⋅ y 1 3 x + y .
Calculep) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ⋅ x 2 + 9 ⋅ y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculeo) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculei) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 e x + y ≤ z ≤ x + y + 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .