Enunciado

Calcule a integral tripla.

∭ T x 2   d V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 )

Passo 1

No espaço temos os quatro pontos

Precisamos achar o plano que passa pelos três pontos que não são a origem, para isso, podemos fazer o seguinte, a fórmula do plano é

a x + b y + c z = d

Quando x = 0 e y = 0

c z = d

E também sabemos que z = 1

d = c

Quando y = 0 e z = 0

a x = d

E x = 1

d = a

Quando x = 0 e z = 0

b y = d

E y = 1

b = d

Então temos a = b = c = d , que na fórmula do plano, podemos colocar quanquer valor, então para a = 1

x + y + z = 1

Isolando z , temos

z = 1 - x - y

E podemos colocar a variação de z como 0 ≤ z ≤ 1 - x - y .

Passo 2

Agora no plano temos que a área é limitada por x = 0 , y = 0 e a reta que passa por 1,0 e ( 0,1 ) , essa reta tem inclinação

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 = 1 - 0 0 - 1 = - 1

E a equação é

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = - 1 ( x - 1 )

y = - x + 1

Podemos escrever D como

D = x , y 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 - x }

E escrevemos T como sendo

T = x , y , z x , y ∈ D ,   0 ≤ z ≤ 1 - x - y }

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∭ T x 2   d V = ∬ D ∫ 0 1 - x - y x 2   d z d A

= ∬ D z x 2 0 1 - x - y d A = ∬ D 1 - x - y x 2 d A

= ∬ D x 2 - x 3 - x 2 y d A

Agora calculando a integral dupla

= ∬ D x 2 - x 3 - x 2 y d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2 - x 3 - x 2 y d y d x

= ∫ 0 1 x 2 y - x 3 y - x 2 y 2 2 0 1 - x d x = ∫ 0 1 x 2 ( 1 - x ) - x 3 ( 1 - x ) - x 2 ( 1 - x ) 2 2 d x

= ∫ 0 1 x 2 - x 3 - x 3 + x 4 - x 2 ( 1 - 2 x + x 2 ) 2 d x

= ∫ 0 1 x 2 - x 3 - x 3 + x 4 - x 2 - 2 x 3 + x 4 2 d x

= ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x = x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

= 1 6 - 1 4 + 1 10 = 10 - 15 + 6 60 = 1 60

Resposta

= 1 60

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Calculer) ∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ≤ x + y ≤ 8 , 1 x ≤ y ≤ 2 x , y ≥ x e 0 ≤ z ≤ x ⋅ y 1 3 x + y .
Calculep) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ⋅ x 2 + 9 ⋅ y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculeo) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 0 .
Calculei) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 e x + y ≤ z ≤ x + y + 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .