Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 40
Determine a massa de um funil fino com o formato do cone , se sua função densidade é .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Para calcular a massa temos:
O vetor normal vai ser dado por:
Onde é a superfície parametrizada. Vamos calcular?
Passo 2
Como temos que , então uma parametrização possível é:
Assim o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
E o módulo é:
Passo 3
Legal! O próximo passo é determinar a área a ser integrada. A projeção do cone no plano é uma série de círculos com raios que variam entre e , pois . Então a região pode ser dada, em coordenadas polares da seguinte forma:
E o integrando em polares fica:
Pronto, agora é só jogar na integral!
Passo 4
Substituindo os valores do integrando e o diferencial de área temos:
Aplicando os limites de integração temos:
É isso pessoal! Essa é a massa! .