Enunciado

Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = 2 y + 1 recortada pelo cilindro   x 2 + y - 2 2 = 4   .   Determine a massa dessa lamina se a densidade no ponto ( x,y,z) é proporcional à distancia desse ponto ao plano xy

Passo 1

A nossa função de densidade é bem tranquilinha. “densidade no ponto ( x,y,z) é proporcional à distancia desse ponto ao plano xy” significa que

f   x , y , z = k z

Simples! Agora podemos montar a integral

M =   ∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais de z

z = 2 y + 1

Assim

z x = 0

z y = 2

Vamos unir a integral

∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + 0 2 + 2 2 d y d x

= 5 ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   d y d x

Vamos implantar agora nossa função f

= 5 ∫ ∫ R k z   d y d x

= 5 ∫ ∫ R k 2 y + 1   d y d x

Passo 3

Quando projetamos o recorte do plano com o cilindro no plano XY obtermos essa região

Primeira coisa a dizer. Essa região é muito ruim de integrar, porque ela está descentralizada dos eixos. Isso quer dizer que quando mudarmos para polar o nosso r   sera uma função do ângulo r ( θ ) , ou seja, você vai pedir arrego no meio do exercício, porque ele ficaria imenso.

Então tenho uma super dica do meu professor de calculo 3. Vamos fazer uma mudança de espaço vamos sair dessa região cartesiana para uma cartesina*

C → C *

Onde nessa nossa região cartesiana a nossa região esteja centralizada. Faremos assim

y * = y - 2

x * = x

O melhor desse tipo de transformação é que o Jacobiano – A distorção espacial é 1. Porque não estamos distorcendo o espaço, apenas transladando. Então nossa região no C * fica

E assim nossa integral fica infinitamente mais fácil. Então tínhamos

= 5 ∫ ∫ R k 2 y + 1   d y d x

E agora teremos

= 5 ∫ ∫ R k 2 y * + 2 + 1   d y * d x *

Já sabemos que estamos em um sistema de cartesiano transladado então vou voltar a usar apenas x   e   y sem o *, certo? 😉

= 5 ∫ ∫ R k 2 y + 5   d y d x

Vamos passar para polares agora 😉

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

J = r

5 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 k 2 r s e n θ + 5   r d r d θ

DICA 2 : Quando integramos seno ou cosseno entre [ 0,2 π ]   o resultado é zero. Entao para facilitar a gente podemos logo integrar em relação a θ  

2 π k 5 ∫ 0 2   5 r d r

= 10 π k 5   r 2 2 0 2  

= 20 5 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

M =   ∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

M = 20 5 π  

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38- A superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ a tem densidade constante k . Determine a ) o centro de massa e b ) o momento de inércia em torno do eixo z .
Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 4x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 . Calcular a massa da lâmina se a densidade no ponto x , y , z é proporcional à distância desse ponto ao eixo z
Calcular o centro de massa da parte da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 16 , que esta abaixo do plano z = 2 e acima do plano xy supondo a densidade constante
Uma lâmina tem a forma da superfície lateral do cone z 2 = 3x 2 + y 2 limitado z = 0ez = 3 . Determine o momento de inercia da lâmina ao eixo z se a densidade é fx , y , z= 1