Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x pertence a D_g , sendo g dada por

g(x) = x^2 - 2x, x >= 1

Passo 1

Vamos lembrar como funciona composição de funções? Se eu tenho uma função g ( x ) e faço g f x isso de modo bem simples quer dizer que aonde eu ver minha variavel x   vou substituir por f ( x ) . Vamos testar ? Queremos g f x = x , então:

g x = x 2 - 2 x

Então:

g f ( x ) = f x 2 - 2 f x

Para termos g f x = x então:

f x 2 - 2 f x = x

Passo 2

Agora, temos que isolar o f x , e para isso, podemos completar quadrados:

Quando temos o quadrado de uma diferença, temos os seguintes produtos notáveis:

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Nesse caso, temos f x 2 - 2 f x , então

a 2 = f x 2 ⇒ a = f x

- 2 a b = - 2 f x ⇒ - 2 f x b = - 2 f x

b = 1

Então:

f x - 1 2 = f x 2 - 2 f x + 1

Mas como queremos apenas f x 2 - 2 f x , vamos isolar esse termo:

f x 2 - 2 f x = f x - 1 2 - 1

Logo

f x 2 - 2 f x = x

f x - 1 2 - 1 = x

f x - 1 2 = x + 1

Como x ≥ 1 , ou seja, x + 1 ≥ 0 podemos tirar aplicar a quadrada nos dois lados:

f x - 1 = x + 1

f x = x + 1 + 1

Essa foi um pouquinho mais complicadinha, composição é assim mesmo, não tem passe de magica. É só trabalho braçal mesmo. Com o tempo voce vai pegando o ritmo e fazendo isso já rapidinho. Terminamos aqui , te vejo na proxima resolução 😊

Resposta

f x = x + 1 + 1

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