Enunciado

Determine uma representação paramétrica para a superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 que está entre os planos z = - 2 e z = 2

Passo 1

Vamos converter para coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Temos então que:

ρ = 4

Vamos substituir esse valor:

x = 4 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = 4 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = 4 cos ⁡ ϕ

É simples ver que θ vai de 0 a 2 π , mas como z está entre - 2 e 2 , temos que achar os limites de ϕ :

Quando z = 2 temos:

2 = 4 cos ⁡ ϕ → cos ⁡ ϕ = 1 2 → ϕ = cos - 1 ⁡ 1 2 = π 3

Quando z = - 2 :

- 2 = 4 cos ⁡ ϕ → cos ⁡ ϕ = - 1 2 → ϕ = cos - 1 ⁡ - 1 2 = 2 π 3

Assim as equações paramétricas são:

x = 4 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ             y = 4 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ           z = 4 cos ⁡ ϕ ,       0 ≤ θ ≤ 2 π ;       π 3 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

Resposta

x = 4 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ             y = 4 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ           z = 4 cos ⁡ ϕ ,       0 ≤ θ ≤ 2 π ;       π 3 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

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Desenhe a imagem de σ u , v = ( cos ⁡ v ,s e nv ,u ) , com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2 π .