Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = t g 2 n π 1 + 8 n

Passo 1

Fala Aí!! Assim como nas questões anteriores, queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Uma das formas de fazermos isso é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente (se aproxima do infinito), a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Belezura?

A sequência que é nos dada no enunciado é

a n = t g 2 n π 1 + 8 n

Então, para determinarmos se a sequência converge ou diverge, primeiro precisamos entender o comportamento da função tangente à medida que n   se aproxima do infinito.

Primeiro vamos reescrever o argumento da função tangente substituindo n   por 1 n ​ para simplificar a expressão

l i m n → ∞   t g 2 n π 1 + 8 n = l i m n → ∞   t g 2 π 1 n + 8

Passo 2

Agora, note que quando n   se aproxima do infinito, 1 n ​ se aproxima de zero, então 2 π 1 n + 8 se aproxima de 2 π 0 + 8 = π 4 ​.

Ou seja,

l i m n → ∞   t g 2 π 1 n + 8 = t g 2 π 0 + 8 = t g π 4 = 1

Portanto, o limite da sequência é 1 . A sequência converge para 1 .

l i m n → ∞   a n = 1

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 1

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