Enunciado

13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

16. { 5 ,   8 ,   11 ,   14 ,   17 … }

Passo 1

Fala aí, tudo beem?

Nosso objetivo nessa questão é encontrar uma fórmula para o termo geral a n da sequência, certo? Para fazer isso, precisamos encontrar algum padrão que essa sequência tenha.

Então vamos analisar a sequência passo a passo:

  1. O primeiro termo da sequência é 5 .
  2. O segundo termo é obtido adicionando 3 ao primeiro termo: 5 + 3 = 8 .
  3. O terceiro termo é obtido adicionando novamente 3 ao segundo termo: 8 + 3 = 11 .
  4. Esse padrão continua, onde cada termo subsequente é obtido adicionando 3 ao termo anterior.

Acho que conseguimos encontrar um padrão! Agora vamos tentar expressar isso para o termo geral a n .

Passo 2

Agora, para expressar isso em uma fórmula para o termo geral ​ a n :

  1. O termo inicial é 5 .
  2. Cada termo subsequente é obtido adicionando 3 vezes o número do termo anterior menos 1 , pois começamos a contar do primeiro termo.

Assim, a fórmula geral para o n-ésimo termo ​ a n ​ é:

a n = 5 + 3 . ( n - 1 )

Onde n é o número do termo na sequência. Beleza?

Se quiser podemos até expandir essa expressão:

a n = 5 + 3 . ( n - 1 )

a n = 5 + 3 n - 3

∴ a n = 2 + 3 n

Passo 3

Uma observação importante é que essa fórmula que encontramos é uma PA (progressão aritmética). Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre a mesma. No caso da sequência { 5 ,   8 ,   11 ,   14 ,   17 … } , a diferença entre cada par de termos consecutivos é sempre 3 , o que significa que é uma Progressão Aritmética.

Para uma progressão aritmética a expressão de a n é:

a n = a 1 + r . ( n - 1 )

Onde r é a razão da progressão! No nosso caso, os termos se repetem de 3 em 3, não é mesmo? Então nosso r é 3 . Ademais, o primeiro termo que nos foi dado é 5 , então a 1 = 5 . Substituindo na expressão, teremos:

a n = 5 + 3 . ( n - 1 )

Show?!

Resposta

a n = 2 + 3 n

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