Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = 3 n + 2 5 n

Passo 1

Beleza, pessoal? O que queremos nessa questão? Queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Uma das formas de fazermos isso é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente (se aproxima do infinito), a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Belezura?

A nossa sequência aqui é dada por

a n = 3 n + 2 5 n

Dada essa sequência, começamos reescrevendo 3 n + 2 como 3 2 × 3 n , utilizando as propriedades das potências. Assim,

a n = 3 n + 2 5 n = 3 2 × 3 n 5 n

Ou seja,

a n = 9 × 3 n 5 n

Beleza até aqui?

Passo 2

Agora, temos 9 como um termo constante, e 3 n 5 n pode ser simplificado como 3 5 n . Portanto,

a n = 9 × 3 n 5 n = l i m n → ∞   9 3 5 n

Tudo certo até aqui? Só usamos as propriedades das potências até agora.

Podemos ver que a expressão foi simplificada em termos de 3 5 n , onde 3 5 é menor que 1   , então à medida que n tende ao infinito, 3 5 n se aproxima de zero.

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   3 n + 2 5 n = l i m n → ∞   9 3 5 n = 9   .   0 = 0

Encontramos que o limite é finito, então a sequência converge para 0 , show?

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 0

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