Enunciado

Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3

Passo 1

Vamos usar o teste da razão:

Colocando a n = - 1 n . e 1 n n 3

Escrevendo, a n + 1 a n = - 1 . e 1 n + 1 n + 1 3 n 3 e 1 n = e 1 n + 1 - 1 n . n n + 1 3  

Se n → ∞ , temos que o expoente tende a zero e, portanto, a exponencial tende a 1 . A fração também tende a 1 , portanto, L = 1 .

Temos que o teste da razão é inconclusivo.

Passo 2

Testando a convergência absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3 =   ∑ n = 1 ∞ e 1 n n 3

Sabendo que se n ≥ 1 → e ≥ e 1 n .

Portanto, vale que:

e n 3 ≥ e 1 n n 3

A série com o termo geral descrito na esquerda é convergente, já que é o produto de uma série convergente por uma constante.

Logo, pelo Teste de Comparação, temos que a série é convergente.

Entao, a série do enunciado é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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