Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ - 3 n 2 n + 1 !

Passo 1

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, sempre vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = - 3 n 2 n + 1 !

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] !

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] ! - 3 n 2 n + 1 !

Note que podemos organizar essa epressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 [ 2 n + 1 + 1 ] ! ⋅ 2 n + 1 ! - 3 n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n ( - 3 ) [ 2 n + 1 + 1 ] ! ⋅ 2 n + 1 ! - 3 n = lim n → ∞ ⁡ - ( 3 ) 1 2 n + 3 2 n 2 ) = 3 lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 3 2 n 2 ) = 3 ⋅ 0 = 0

Passo 3

Como:

0 < 1

Então, a série ∑ n = 0 ∞ - 3 n 2 n + 1 !

é absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n ! n n 4 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n n + 1 n 2
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ e - n . n !
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 5 n