Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) ((n)/(n + 1))^(n^2)

Passo 1

Opa! Sopa de letrinhas com termo em n como expoente??? Vamos aplicar o Teste da Raiz!

Passo 2

Pelo Teste da Raiz:

underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|) = underset(n -> oo)(lim) root(n)(|((n)/(n + 1))^(n^2)|) = underset(n -> oo)(lim) ((n)/(n + 1))^n

Xiii...Agora complicou! Como resolver esse limite?!?!

Bom....Você se lembra láááá daqueles limites fundamentais? Então, um deles é aquele que resultava no e :

underset(x -> +- oo)(lim) (1 + (1)/(x))^x = e

É....eu sei....esse é aquele pulo do gato em que você deve estar esperto e afiado nos paranauês do Cálculo. Bom, o Responde Aí está aqui pra isso!

Vamos retornar ao nosso limite reescrvendo que (n)/(n + 1) = (1)/(1 + (1)/(n)) ...

Passo 3

underset(n -> oo)(lim) ((n)/(n + 1))^n = underset(n -> oo)(lim) ((1)/(1 + (1)/(n)))^n = underset(n -> oo)(lim) (1)/((1 + (1)/(n))^n) = (1)/(e)

Passo 4

Show de bola! Como o nosso limite underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|) = (1)/(e) < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente pelo Teste da Raiz.

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) ((n)/(n + 1))^(n^2) é convergente

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Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.17. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π 3 n !
Use qualquer teste para determinar se uma série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2
Teste a série quanto a convergência ou divergência ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 3 k + 1 k k
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3