Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

∑ n = 1 ∞ s e n   n 2 n

Passo 1

Oi, galera! Tudo joia?

A questão quer que a gente defina se nossa série é absolutamente convergente ou condicionalmente:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ s e n   n 2 n

Podemos dizer que uma série ∑ a n é absolutamente convergente se a série de valores absolutos ∑ | a n | for convergente.

Vamos tentar entender se isso ocorre com a série que nos foi dada!

Bora pro próximo passo.

Passo 2

O que precisamos fazer aqui é achar a convergência de ∑ | a n | :

∑ n = 1 ∞ s e n   n 2 n = ∑ n = 1 ∞ s e n   n 2 n

Para isso podemos usar o método do Teste da Comparação. Relembrando como funciona: nós achamos uma série b n que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa sequência a n dada no enunciado. Se b n for convergente e a n ≤ b n para todo n , então ∑ a n também será convergente.

a n = s e n   n 2 n

E a sequência que vamos escolher, tem que ser uma que converge. Vamos pegar então a série:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Que converge pelo teste da série geométrica, já que aqui temos o raio da série como r = 1 2 e séries geométricas convergem quando r < 1 .

Passo 3

Para mostrarmos a desigualdade, e chegar onde precisamos, vamos começar de uma verdade que todo mundo sabe:

s e n n ≤ 1

E então dividimos os dois lados por 2 n :

s e n n 2 n ≤ 1 2 n

E pronto, mostramos que a sequência b n , que converge, é maior que a sequência a n . Então a nossa série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente

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