Enunciado

Um modelo para a densidade δ da atmosfera terrestre próxima à superfície é

δ = 619,09 - 0,000097 ρ

onde ρ (a distância do centro da Terra) é medido em metros e δ é medido em quilogramos por metro cúbico. Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de 6730   k m , então, este modelo é razoável para 6370 ⋅ 10 3 ≤ ρ ≤ 6735 ⋅ 10 3 . Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5   k m .

Passo 1

O problema fornece um modelo para como a densidade da atmosfera varia com a distância até o centro da Terra:

δ = 619,09 - 0,000097 ρ

Queremos calcular a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5   k m . Para isso, temos que calcular a massa na região 6370 ⋅ 10 3 ≤ ρ ≤ 6735 ⋅ 10 3 . No livro está erroneamente escrito com 10 6 no lugar de 10 3 :

6730   k m = 6730 ⋅ 10 3   m

Sabemos que a massa é a integral da densidade no volume:

m = ∭ δ   d V

Por simplicidade, vamos escrever:

δ = a - b ρ             e                 r ≤ ρ ≤ R ,

onde

a = 619,09 ,             b = 0,000097 ,             r = 6370 ⋅ 10 3                 e                 R = 6 375 ⋅ 10 3

Desta forma, em coordenadas polares:

m = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ r R a - b ρ ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Passo 2

Podemos separar em três integrais:

m = ∫ 0 2 π d θ ⋅ ∫ 0 π s e n   ϕ ⋅ ∫ r R a ρ 2 - b ρ 3   d ρ

A primeira integral é elementar:

∫ 0 2 π d θ = 2 π

Já a segunda,

∫ 0 π s e n   ϕ = - cos ⁡ ϕ 0 π = - - 1 - 1 = 2

Por fim, a terceira é

∫ r R a ρ 2 - b ρ 3   d ρ = a ρ 3 3 - b ρ 4 4 r R = a 3 R 3 - r 3 - b 4 ( R 4 - r 4 )

Logo,

m = 4 π ⋅ a 3 R 3 - r 3 - b 4 R 4 - r 4

Passo 3

Agora nós substituímos a = 619,09 ,             b = 0,000097 ,             r = 6370 ⋅ 10 3                 e                 R = 6 37 5 ⋅ 10 3 :

m = 4 π 619,09 ⋅ 10 9 3 ⋅ 6375 3 - 6370 3 - 0,000097 ⋅ 10 12 4 6375 4 - 6370 4

Fazendo as contas:

m = 2,44 ⋅ 10 18   k g

Resposta

m = 2,44 ⋅ 10 18   k g

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