Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.4 - Ex. 32

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Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b n e outra não a n e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a n = 1 n 1 + 1 / n = 1 n ⋅ n 1 / n

Para comparar vamos usar a série harmônica

b n = 1 n

Passo 3

Vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ⋅ n 1 / n 1 n

Fazendo a divisão de frações

= lim n → ∞ ⁡ 1 n ⋅ n 1 / n ⋅ n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 / n

Aplicando a exponencial e o logaritmo, como são funções inversas não altera o resultado

lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ ( n - 1 / n ) = lim n → ∞ ⁡ e - 1 n ln ⁡ ( n )

Aplicando a propriedade do limite em funções contínuas, podemos passar o limite para o argumento da função, neste caso a função exponencial.

= e l i m n → ∞ - 1 n ln ⁡ n

Aplicando L’Hospital no limite

= e l i m n → ∞ - 1 / n 1 = e 0 = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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