Enunciado

Se ∑ a n e ∑ b n forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que ∑ a n b n também será convergente?

Passo 1

Para que ∑ a n e ∑ b n convirjam, é necessário que lim n → ∞ ⁡ a n = 0 e lim n → ∞ ⁡ b n = 0 , então, focando só na primeira série, a partir de um certo n , a n < 1 , e podemos dizer que após esse valor de n , a n b n < b n , já que se multiplicarmos um numero por outro menor que 1 , ficamos com um número menor.

Passo 2

Como após esse valor de n temos que a n b n < b n e antes desse valor temos n termos na séries, sendo n um número finito, a soma destes termos não implicam na divergência da soma. Para os valores subsequentes temos que, como ∑ b n converge, pelo teste da comparação ∑ a n b n , também converge.

Resposta

Sim.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.