Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n !)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (1)/(n !)

E isso vale para n >= 1 .

Para escolher a outra série vamos pensar o seguinte, temos que

n ! = n (n - 1) (n - 2) ... 3 * 2 * 1 > 2 * 2 * 2 ... 2 * 2 = 2^(n - 1)

Isso vale para n >= 3 , se colocarmos ambas as expressões como denominadores de fração, o sinal de desigualdade inverte

(1)/(n !) < (1)/(2^(n - 1))

Portanto, temos um termo que é maior que o nosso termo, então

b_n = (1)/(2^(n - 1))

Passo 3

Então como a_n < b_n , AA n >= 3 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n converge pois é uma série geométrica com r = (1)/(2) < 1 , pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n !)

É convergente.

Resposta

Converge.

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