Enunciado

Se a n -ésima soma parcial de uma série ∑ n = 1 ∞ a n for

s n = n - 1 n + 1

Encontre a n e ∑ n = 1 ∞ a n .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bom?

Aqui precisamos encontrar a expressão dos termos da sequência e uma expressão para os termos da soma da série.

Vamos usar o fato de que s n   é o termo a n somado com a soma da série até o termo antecessor s n - 1 .

Passo 2

Para encontrar o termo geral a n vamos usar a fórmula da soma parcial

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 + a n

Podemos chamar também a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 = s n - 1

s n = s n - 1 + a n

E então conhecemos s n e consequentemente s n - 1 , basta isolar a n .

Passo 3

Isolando a n

a n = s n - s n - 1

Substituindo s n e s n - 1

a n = n - 1 n + 1 - ( n - 1 ) - 1 ( n - 1 ) + 1

Somando os termos, teremos:

a n = n - 1 n + 1 - n - 2 n

Agora ficará mais simples se fizermos essa subtração de frações para ficarmos com uma única fração.

Fazendo o MMC entre n e n + 1 e prosseguindo com nossa subtração de frações, chegamos em:

a n = n - 1 n - n - 2 n + 1 n + 1 n

Agora só precisamos fazer as multiplicações necessárias:

a n = n 2 - n - ( n 2 - n - 2 ) n + 1 n

Como temos vários termos de mesmo valor mas sinais opostos, vamos cancelar esses termos:

a n = 2 ( n + 1 ) n

Portanto temos nossa expressão para os termos da sequência.

Passo 4

Para achar a soma, basta aplicar o limite na fórmula da soma parcial

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n + 1

Colocando n em evidencia em cima e em baixo

lim n → ∞ ⁡ n 1 - 1 n n 1 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 1 + 1 n = 1

Resposta

a n = 2 n + 1 n

lim n → ∞ ⁡ s n = 1

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