Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(k = 1)^(oo) (k s e n^2 k)/(1 + k^3)

Passo 1

Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação. A ideia é comprar uma série dada com uma que a gente já sabe ser convergente ou divergente. Ao usarmos o teste de comparação, devemos, é claro, ter algumas séries conhecidas já na manga. Na maior parte do tempo usamos uma destas séries:

  • Uma série p [ sum 1 // n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1 ];
  • Uma série geométrica [ sum a r^(n - 1) converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1 ].

Portanto, se temos uma série sum a_n e outra sum b_n (a série a ser comparada) com termos positivos:

  1. Se sum b_n for convergente e a_n <= b_n para todo n , então sum a_n também será convergente;
  2. Se sum b_n for divergente e a_n >= b_n para todo n , então sum a_n também será divergente.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

sum_(k = 1)^(oo) (k s e n^2 k)/(1 + k^3)

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

sum_(k = 1)^(oo) (k)/(1 + k^3)

que assume valores igual ou maior que a da série original. No entanto, ainda não é a melhor série para nós usarmos no Teste da Comparação. A série que melhor nos remete a essa segunda mostrada é:

sum_(k = 1)^(oo) (k)/(k^3) = sum_(k = 1)^(oo) (1)/(k^2)

Comparando essas séries temos:

sum_(k = 1)^(oo) (k s e n^2 k)/(1 + k^3) <= sum_(k = 1)^(oo) (k)/(1 + k^3) < sum_(k = 1)^(oo) (1)/(k^2)

pois o lado esquerdo tem um denominador maior! Esse formato de série é bem parecido com um apresentado no passo anterior, não é? Ela é uma série p! E como p = 2 > 1 , essa série é convergente! Portanto

sum_(k = 1)^(oo) (k s e n^2 k)/(1 + k^3)

é convergente pelo Teste de Comparação.

Resposta

A série é convergente!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n + 3^n)/(n + 2^n)
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1 + cos n)/(e^n)
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 2 + n + 1 n 4 + n 2
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n n
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (e^n + 1)/(n e^n + 1)