Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

18. ∑ n = 1 ∞ n ! n n

Passo 1

Pelo teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L > 1 , a série será divergente, e se L < 1 ela será convergente.

Nossa sequencia é:

a n = n ! n n

E o teste fica:

L = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 n + 1 n ! n n = l i m n → ∞ n + 1 ! n + 1 n + 1 n n n !  

Tirando do módulo:

L = l i m n → ∞ n + 1 ! n + 1 n + 1 n n n !

Passo 2

Como o limite dá uma indeterminação ∞ / ∞ , precisamos mexer em algumas coisas. Primeiro, vamos expandir um termo do fatorial de cima:

L = l i m n → ∞ n + 1 n ! n + 1 n + 1 n n n !

E simplificar n ! :

L = l i m n → ∞ n + 1 n + 1 n + 1 n n 1 = l i m n → ∞ n + 1 n n n + 1 n + 1

Simplificamos ( n + 1 ) :

L = l i m n → ∞ n n n + 1 n

Agora tiramos fator comum no denominador:

L = l i m n → ∞ n n n 1 + 1 n n = l i m n → ∞ n n n n 1 + 1 n n

Podemos simplificar n n :

L = l i m n → ∞ 1 1 + 1 n n

Colocando o limite para ‘dentro’ da razão, já que o limite da razão é igual à razão dos limites:

L = l i m n → ∞ ( 1 ) l i m n → ∞ 1 + 1 n n

O de cima é fácil, e o de baixo será e , ficamos então:

L = 1 e

Podemos ver que L < 1 , e a série é absolutamente convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?c) ∑ n = 1 ∞ - 3 n n
Determine se a série 1 - 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 ! + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série ∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n ! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?d) ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?b) ∑ n = 1 ∞ n 2 n