Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 32
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.
Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não e então calculamos o seguinte limite
Se for um número finito e , ambas as séries convergem ou divergem.
Passo 2
Neste caso a série que queremos comparar é a de termo
Para comparar vamos usar a série harmônica
Passo 3
Vamos calcular o limite
Fazendo a divisão de frações
Aplicando a exponencial e o logaritmo, como são funções inversas não altera o resultado
Aplicando a propriedade do limite em funções contínuas, podemos passar o limite para o argumento da função, neste caso a função exponencial.
Aplicando L’Hospital no limite
Como e a série harmônica diverge
Também diverge.
Resposta
Diverge.
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