Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^(1 + 1 // n))

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (1)/(n^(1 + 1 // n)) = (1)/(n * n^(1 // n))

Para comparar vamos usar a série harmônica

b_n = (1)/(n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1)/(n * n^(1 // n)))/((1)/(n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (1)/(n * n^(1 // n)) * n = underset(n -> oo)(lim) (1)/(n^(1 // n))

Aplicando a exponencial e o logaritmo, como são funções inversas não altera o resultado

underset(n -> oo)(lim) e^(ln ( n^(- 1 // n) )) = underset(n -> oo)(lim) e^(- (1)/(n) ln ( n ))

Aplicando a propriedade do limite em funções contínuas, podemos passar o limite para o argumento da função, neste caso a função exponencial.

= e^(underset(n -> oo)(l i m) (- (1)/(n) ln (n)))

Aplicando L’Hospital no limite

= e^(underset(n -> oo)(l i m) (- (1 // n)/(1))) = e^0 = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica diverge

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^(1 + 1 // n))

Também diverge.

Resposta

Diverge.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Quais séries nos exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. ∑ n = 0 ∞ e - 2 n
Quais séries nos exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ l n 1 3 n
Quais séries nos exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 3 n
Quais séries nos exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ n n n !
Quais séries nos exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ 1 x n ,x1