Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (n !)/(n^n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (n !)/(n^n)

E isso vale para n >= 1 .

Para escolher a outra série vamos usar b_n = 2 // n^2 , porque para n >= 4 , b_n > a_n , por conta do seguinte cálculo

(1)/(n) * (2)/(n) * {(3)/(n) * (4)/(n) ... (n)/(n)} < (1)/(n) * (2)/(n)

Note que o que está dentro da chave é menor do que 1 , então diminui o valor quando multiplicado com o que está fora, mas isso só vale para valores maiores que 3 .

Passo 3

Então como a_n < b_n , AA n >= 4 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n converge pois é uma série-p com p = 2 , pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (n !)/(n^n)

É convergente.

Resposta

Converge.

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