Enunciado

Encontre a área da superfície.

A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que cruza no primeiro octante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A

Passo 2

Temos então que encontrar as derivadas parciais f x e f y . Temos que z = 6 - 3 x - 2 y , portanto:

f x = - 3

f y = - 2

Passo 3

A área será:

A = ∬ D - 3 2 + - 2 2 + 1 d A

A = ∬ D 9 + 4 + 1 d A

A = ∬ D 14 d A

Para aplicar os limites, temos que:

3 x + 2 y + 0 = 6

y = 6 - 3 x 2

0 ≤ y ≤ 6 - 3 x 2

0 ≤ x ≤ 2

Portanto:

A = ∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x 2 14 d y d x

Resolvendo, temos que:

A = ∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x 2 14 d y d x = 14 ∫ 0 2 y 0 6 - 3 x 2 d x

A = 14 ∫ 0 2 6 - 3 x 2 d x

A = 14 3 x - 3 x 2 4 0 2

A = 14 3 ( 2 ) - 3 2 2 4

A = 3 14

Resposta

A = 3 14

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