Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

1 + (1)/(3) + (1)/(5) + (1)/(7) + (1)/(9) + ...

Passo 1

Show de bola, galera...Estamos diante de uma série em que os termos do denominador serão sempre números ímpares, a começar pelo número 1 . Basicamente temos:

1 + (1)/(3) + (1)/(5) + (1)/(7) + (1)/(9) + ... = sum_(n = 0)^(oo) (1)/((2 n + 1))

Beleza....Partiu usar o Teste da Integral?

Passo 2

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (1)/((2 n + 1)) harr f (x) = (1)/((2 x + 1))

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 0 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 3

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_0^(oo) f ( x ) d x = int_0^(oo) (d x)/((2 x + 1)) = underset(t -> oo)(lim) int_0^t (d x)/((2 x + 1)) = underset(t -> oo)(lim) ((ln (2 x + 1))/(2))_0^t = underset(t -> oo)(lim) ((ln (2 t + 1))/(2)) = oo

Passo 4

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

1 + (1)/(3) + (1)/(5) + (1)/(7) + (1)/(9) + ... é divergente

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 2 ∞ ln ⁡ n n 2
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 3 / 2
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 2 5 n - 1
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n
Encontre a soma para a série ∑ n = 1 ∞ n e - 2 n correta com quatro casas decimais de precisão.