Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (n^2)/(n^3 + 1)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (n^2)/(n^3 + 1) harr f (x) = (x^2)/(x^3 + 1)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (x^2)/(x^3 + 1) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (x^2)/(x^3 + 1) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de substituição com u = x^3 + 1 e d u = 3 x^2 d x harr x^2 d x = (d u)/(3) :

int (x^2)/(x^3 + 1) = (1)/(3) int (d u)/(u) = (ln u)/(3) = (ln (x^3 + 1))/(3)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (x^2)/(x^3 + 1) d x = underset(t -> oo)(lim) [(ln (x^3 + 1))/(3)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) ((ln (t^3 + 1))/(3) - (ln (2))/(3)) = oo

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (n^2)/(n^3 + 1) é divergente

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