Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 2^(n - 1))/((- 5)^n)

Passo 1

Eita...sériezinha meio feia, né? Vamos dar uma ajustada nela?

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 2^(n - 1))/((- 5)^n) = sum_(n = 1)^(oo) (n^2 2^(n - 1))/((- 1)^n * (5)^n) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n underset(b_n)(ubrace (n^2 2^(n - 1))/(5^n)) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n b_n

Aquele (- 1)^n já deu uma melhorada, né? Já está com uma cara mais aparente de série alternada. Então... Vamos aplicar o “Teste da Série Alternada”?

Passo 2

Olha só que malandragem (momento #ficaadica): o nosso termo b_n será sempre um termo positivo na série, certo? Beleza....Para usarmos o Teste da Série Alternada, precisamos garantir 2 condições:

( i ) b_n + 1 <= b_n

(i i) underset(n -> oo)(lim) b_n = 0

A malandragem vem aqui: se garantirmos a condição ( i i ) , automaticamente estamos garantindo a condição ( i ) .

Vamos, então, partir pra verificação da condição ( i i ) .

Passo 3

underset(n -> oo)(lim) b_n = underset(n -> oo)(lim) (n^2 2^(n - 1))/(5^n)

Vamos reescrever aquele 2^(n - 1) como (2^n)/(2)

underset(n -> oo)(lim) n^2 * (1)/(2) * (2^n)/(5^n) = (1)/(2) * [underset(n -> oo)(lim) n^2 * ((2)/(5))^n]

Chegamos numa inconsistência do tipo “ oo * 0 ”. Vamos rearranjar a expressão para aplicarmos L’Hopital

(1)/(2) * [underset(n -> oo)(lim) n^2 * ((2)/(5))^n] = (1)/(2) * [underset(n -> oo)(lim) (n^2)/(((5)/(2))^n)] underset(L^' H o p i t a l)(->) (1)/(2) * [underset(n -> oo)(lim) (2)/((ln (5)/(2))^2 ((5)/(2))^n)] = 0

Ufa! Quantas contas! Mas finalmente chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 2^(n - 1))/((- 5)^n) é convergente

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