Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k

Passo 1

Nesta série, temos um termo

a k = cos ⁡ 1 k

Que por mais estranho que talvez pareça pra você, é simplesmente uma constante elevada a k , essa constante é cos ⁡ 1 . Se é uma constante elevada a k , essa é uma série muito próxima de uma série geométrica

∑ k = 0 ∞ a r k

Só falta o indicice iniciar em k = 0 , onde nosso a = 1 e r = cos ⁡ 1 .

Passo 2

Então como faremos para transformar isso em uma geométrica? Vamos fazer ela iniciar em k = 0 , desta maneira nossa série vai ter um termo a mais que é só subtrairmos esse termo.

Esse termo é o primeiro da série geométrica, portanto ele é igual a a e como a = 1 , basta subtrair 1 da nossa série

∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ 1 k - 1

Pronto, temos uma série geométrica.

Passo 3

Para essa série geométrica temos r = cos ⁡ 1 e sabemos que o cosseno é limitado entre - 1 e 1 , e que esses valores ocorrem em 0 e π , e definitivamente 1 não é um desses ângulos, portanto podemos afirmar com toda a certeza que cos ⁡ 1 < 1 e que essa série é convergente.

Uma série geométrica convergente tem seu valor dado por

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 - r

Logo

∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ 1 k - 1

∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k = 1 1 - cos ⁡ 1 - 1

Resposta

∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 1 k = 1 1 - cos ⁡ 1 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x ) para esses valores de x . ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 n
Curva do floco de neve de Helga von Koch. A curva do floco de neve de Helga von Koch é uma curva de comprimento infinito que engloba uma região de área finita. Para entender a razão disso, imagine que
Encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x ) para esses valores de x . ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x - 3 n
Encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x ) para esses valores de x . ∑ n = 0 ∞ - 1 n x + 1 n
Encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x ) para esses valores de x . ∑ n = 0 ∞ 2 n x n