Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 1 n 2 - cos ⁡ 1 n + 1 2

Passo 1

Como funcionam as séries telescópicas?

Elas acontecem geralmente quando temos um termo com uma substração, onde parte de um termo cancela com um próximo, sobrando parte dos primeiros termos e parte dos últimos.

a n = cos ⁡ 1 n 2 - cos ⁡ 1 n + 1 2

Passo 2

Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o s n

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 + a n

s n = cos ⁡ 1 1 2 - cos ⁡ 1 2 2 + cos ⁡ 1 2 2 - cos ⁡ 1 3 2 + cos ⁡ 1 3 2 - cos ⁡ 1 4 2 + … + cos ⁡ 1 ( n - 1 ) 2 - cos ⁡ 1 n 2 + cos ⁡ 1 n 2 - cos ⁡ 1 n + 1 2

Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos o primeiro cos ⁡ 1 e o ultimo - cos ⁡ 1 n + 1 2

s n = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n + 1 2

Passo 3

Para descobrir a soma, basta aplicar o limite

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 - cos ⁡ 1 n + 1 2 = cos ⁡ 1 - cos ⁡ 0

Então

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 1 n 2 - cos ⁡ 1 n + 1 2 = cos ⁡ 1 - 1

Resposta

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 1 n 2 - cos ⁡ 1 n + 1 2 = cos ⁡ 1 - 1

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