Enunciado

Encontre o valor de b para o qual

1 + e^b + e^(2 b) + e^(3 b) + cdots = 9 .

Passo 1

Oi pessoal! Primeiramente vamos relembrar a teoria de séries geométricas.

As séries geométricas têm a seguinte forma:

a + a r + a r^2 + cdots + a r^(n - 1) + cdots = sum_(n = 1)^(oo) a r^(n - 1)

Onde a e r são números reais fixos e a != 0 . Se | r | < 1 , então r^n -> 0 quando n -> oo e s_n -> a // ( 1 - r ) . A série converge para:

sum_(n = 0)^(oo) a r^n = s_n = (a)/(1 - r)

Pelo enunciado temos:

  • s_n = 9 ;
  • a = 1 ;
  • r = e^b .

Sendo assim, conseguimos descobrir o valor de b :

9 = (1)/(1 - e^b)

9 - 9 e^b = 1

e^b = (8)/(9)

Aplicando logaritmo de ambos os lados:

ln (e^b) = ln ((8)/(9))

b = ln ((8)/(9))

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

b = ln ((8)/(9)) .

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