Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + 4)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (1)/(n^2 + 4) harr f (x) = (1)/(x^2 + 4)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta, o que também acontece, percebe que a medida que n aumenta o denominador fica maior e portanto a fração vai adquirindo um valor menor, show de bola?

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (1)/(x^2 + 4) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (1)/(x^2 + 4) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica com x = 2 * tg theta e d x = 2 . sec^2 theta d theta :

int (d x)/(x^2 + 4) = int (2 sec^2 theta d theta)/(4 tg^2 theta + 4) = int (2 . (1)/(cos^2 theta))/(4 ((sen^2 theta)/(cos^2 theta) + 1)) d theta = int (2 . (1)/(cos^2 theta))/(4 ((1)/(cos^2 theta))) d theta = int (d theta)/(2) = (theta)/(2) = (tg^(- 1) ((x)/(2)))/(2)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (d x)/(x^2 + 4) = underset(t -> oo)(lim) [(tg^(- 1) ((x)/(2)))/(2)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) ((tg^(- 1) ((t)/(2)))/(2) - (tg^(- 1) ((1)/(2)))/(2)) = (1)/(2) [(pi)/(2) - tg^(- 1) ((1)/(2))]

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + 4) é convergente

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a c
Repita o Exercício 59 utilizando a série sum ((1)/(n^4)) .
Use o teste de condensação de Cauchy do Exercício 53 para mostrar que ∑ n = 2 ∞ 1 n ⋅ ln ⁡ n diverge; ∑ n = 1 ∞ 1 n p converge se p1 e diverge se p ≤ 1 .
Série p logarítmicaMostre que a integral imprópria ∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x p (sendo p uma constante positiva) converge se, e somente se, p1 .Qual implicação o fato do item (a) tem sobre a convergência da s
a. Para a série ∑ 1 n 3 ,use as desigualdades na Equação 2 com n = 10 para encontrar um intervalo contendo a soma S. b. Como no Exemplo 5, use o ponto médio do intervalo encontrado no item (a) para ap