Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 15
Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Primeiro vamos calcular as derivadas de primeira e segunda ordem
As derivadas em são dadas por:
Já as derivadas em são dadas por:
E a derivada mista é dada por
Passo 2
Agora vamos olhar os pontos críticos dessa função. Pra isso temos que ter
Como a exponencial não zera, os caras a direita nas duas equações têm que ser nulos!
Na primeira equação se a igualdade é mantida. Substituindo esse valor na segunda equação, temos
Como para real, a nossa única solução é para . Então o nosso primeiro ponto crítico é .
Na segunda equação se a igualdade é mantida. Agora vamos jogar na primeira equação
As soluções dessa equação são ou . Como já vimos que é um desses pontos, os novos pontos que achamos são e .
Em resumo temos 3 pontos críticos: , e .
Passo 3
Agora temos que fazer o teste da segunda derivada. Pra isso temos que calcular
No ponto
Então
é um mínimo local
No ponto
Então
é um ponto de sela.
No ponto
Então
é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são , e
é um mínimo local
e são pontos de sela.
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