Enunciado

Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

x 2 + y 2 e y 2 - x 2

Passo 1

Primeiro vamos calcular as derivadas de primeira e segunda ordem

f x , y = x 2 + y 2 e y 2 - x 2

As derivadas em x são dadas por:

f x = 2 x e y 2 - x 2 + x 2 + y 2 e y 2 - x 2 - 2 x = e y 2 - x 2 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2

f x x = e y 2 - x 2 - 2 x 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 + e y 2 - x 2 2 - 6 x 2 - 2 y 2

f x x = e y 2 - x 2 4 x 4 - 10 x 2 + 4 x 2 y 2 - 2 y 2 + 2

Já as derivadas em y são dadas por:

f y = 2 y e y 2 - x 2 + x 2 + y 2 e y 2 - x 2 2 y = e y 2 - x 2 2 y + 2 x 2 y + 2 y 3

f y y = 2 + 2 x 2 + 6 y 2 e y 2 - x 2 + 2 y + 2 x 2 y + 2 y 3 e y 2 - x 2 2 y

f y y = 4 y 4 + 10 y 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x 2 + 2 e y 2 - x 2

E a derivada mista é dada por

f x y = ∂ ∂ y e y 2 - x 2 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2

f x y = e y 2 - x 2 2 y 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 + e y 2 - x 2 - 4 x y

f x y = e y 2 - x 2 4 x y - 4 x 3 y - 4 x y 3 - 4 x y

f x y = - 4 e y 2 - x 2 x 3 y + x y 3

Passo 2

Agora vamos olhar os pontos críticos dessa função. Pra isso temos que ter f x = f y = 0

f x = e y 2 - x 2 2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 = 0

f y = e y 2 - x 2 2 y + 2 x 2 y + 2 y 3 = 0

Como a exponencial não zera, os caras a direita nas duas equações têm que ser nulos!

2 x - 2 x 3 - 2 x y 2 = 0

2 y + 2 x 2 y + 2 y 3 = 0

Na primeira equação se x = 0 a igualdade é mantida. Substituindo esse valor na segunda equação, temos

2 y + 2 ⋅ 0 2 ⋅ y + 2 y 3 = 0 → y + y 3 = 0

y 1 + y 2 = 0

Como y 2 ≥ 0 para y real, a nossa única solução é y = 0 para x = 0 . Então o nosso primeiro ponto crítico é 0,0 .

Na segunda equação se y = 0 a igualdade é mantida. Agora vamos jogar y = 0 na primeira equação

2 x - 2 x 3 - 2 x 0 2 = 0 → x - x 3 = 0

x 1 - x 2 = 0

As soluções dessa equação são x = 0 ou x = ± 1 . Como já vimos que ( 0,0 ) é um desses pontos, os novos pontos que achamos são ( - 1,0 ) e ( 1,0 ) .

Em resumo temos 3 pontos críticos: ( 0,0 ) , ( - 1,0 ) e ( 1,0 ) .

Passo 3

Agora temos que fazer o teste da segunda derivada. Pra isso temos que calcular

D x , y = f x x f y y - f x y 2

No ponto ( 0,0 )

f x x 0,0 = e 0 4 ⋅ 0 4 - 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 2 + 2 = 2

f y y 0,0 = 4 ⋅ 0 4 + 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 2 + 2 e 0 = 2

f x y = - 4 e 0 0 3 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 3 = 0

Então

D 0,0 = 2 ⋅ 2 - 0 = 4 > 0

( 0,0 ) é um mínimo local

4 y 4 + 10 y 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x 2 + 2 e y 2 - x 2

No ponto ( 1 , 0 )

f x x 0,0 = e - 1 4 ⋅ 1 4 - 10 ⋅ 1 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 2 + 2 = - 4 e - 1

f y y 0,0 = e - 1 4 ⋅ 0 4 + 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 1 2 + 2 = 4 e - 1

f x y = - 4 e 0 1 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 3 = 0

Então

D 1 , 0 = - 4 e - 1 4 e - 1 - 0 = - 16 e - 2 < 0

( 1 , 0 ) é um ponto de sela.

No ponto ( - 1,0 )

f x x 0,0 = e - 1 4 ⋅ ( - 1 ) 4 - 10 ⋅ ( - 1 ) 2 + 4 ⋅ ( - 1 ) 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ 0 2 + 2 = - 4 e - 1

f y y 0,0 = e - 1 4 ⋅ 0 4 + 10 ⋅ 0 2 + 4 ⋅ ( - 1 ) 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 2 = 4 e - 1

f x y = - 4 e 0 ( - 1 ) 3 ⋅ 0 + ( - 1 ) ⋅ 0 3 = 0

Então

D - 1,0 = - 4 e - 1 4 e - 1 - 0 = - 16 e - 2 < 0

( - 1,0 ) é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são 0,0 ,   - 1,0 e ( 1,0 )

0,0 é um mínimo local

( - 1,0 ) e ( 1,0 ) são pontos de sela.

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